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El conjunto de Cántor
Todo cabe en la dimensión 0




Conjunto de Cántor, también llamado 'polvo de Cántor', es un ejemplo de conjunto infinito de dimensión 0. Su 'cardinal' es sin embargo el mismo que el del 'continuo', o dicho de otra forma, tiene tantos puntos como el intervalo [0,1], tantos  como en la Recta Real, tantos como en todo nuestro Universo (Suponiendole un número finito de dimensiones).   ¡Todos ellos contienen el mismo número de puntos!

¿Cuál es la raíz de esta paradoja?
¿Cómo puede caber todo el Universo en una dimensión 0?

-La respuesta estaría en observar que el número de puntos de un conjunto y su 'longitud' o el espacio que ocupan, carecen de relación intrínseca.

La relación entre la longitud, o el volumen,  y el número de puntos (cardinal) carece de existencia en sí misma, es vacía.  Esto permite establecer de cualquier manera dicha relación mediante  atribuciones mentales no esenciales. En estas llas radica la diferencia entre el polvo de cantor y el espacio infinito.  Los budistas denominan 'agregados' a esas imputaciones mentales. La diferencia entre el polvo de Cantor y el continuo espacio-tiempo la establece  el 'agregado de la forma'

Para un matemático no puede ser extraño decir que hay tanto espacio dentro de un solo átomo como en todo el Universo.

Ello ilustra el concepto de 'vacuidad' de la filosofía budista.



El arbol y su sombra, hay en ellos los mismos puntos, aunque ésta pueda ser infinita.



Tengamos el intervalo [0,1] de la recta Real.

Si representamos cada punto de dicho intervalo por números reales en base 3, tendremos todos los numeros cuyas cifras son 0,XXXXX...
con infinitas cifras decimales X un valor cero, uno o 2.

La longitud de dicho intervalo es 1.

Ahora, eliminemos todos los puntos cuya primera cifra decimal X sea un 1. Luego en el siguiente paso aquellos cuya segunda cifra decimal sea un 1 y así sucesivamente ha el infinito.

Lo que queda sin eliminar es el llamado conjunto de Cantor.
Son todos los números entre 0 y 1, cuyas cifras decimales son solo 0 ó 2.
Pero sucede que éste conjunto de Cantor puede ponerse en correspondencia 1 a 1 con el conjunto [0,1] original, representando éste en base 2, solo con ceros y unos. El conjunto de Cantor es el mismo solo que con ceros y doses. A pesar de haber sustraido un número infinito de puntos parece que no hemos hecho nada...

La cosa es aún más grave, porque si medimos la longitud del conjunto de Cantor, vemos que inicialmente vale 1,  2/3, (2/3)2
, (2/3)3... (2/3)n

 
Si n->infinito, la longitud-> 0.

¡El conjunto de Cantor se ha disuelto en la vacuidad!