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Los límites de la lógica.
La pura razón no puede abarcar lo verdadero.

 

Hace más de un siglo algunos matemáticos confiaban el fundamentar la matemática mediante unos cimientos sólidos y definitivos. Encontrar un sistema de axiomas, a partir del cual  la lógica deductiva construyera todo el edificio, toda la matemática sería deducible a partir de ellos y el discernimiento entre lo verdadero y lo falso quedaría establecido.


David Hilbert era el principal matemático
que sostenía esta esperanza.

Kurt Gödel, matemático austríaco enunció su famoso teorema y le demostró que la 'Diosa Razón' no era omnipotente. 
No hay un sistema axiomatico finito y consistente, capaz de demostrar todas las proposiciones verdaderas  para la aritmética de los números naturales.

Si tenemos un sistema de axiomas y una proposición indemostrable, eso significa que podemos construir dos nuevos sistemas de axiomas uno añadiendo la nueva proposición afirmativa como axioma y otro con su negación.

Si la proposición nueva es verdadera e indemostrable, su negación sería falsa pero no sería falsable por el sistema original de axiomas y por tanto podría también añadirsele sin crear contradicción interna. Los dos nuevos sistemas de axiomas serían a autoconsistentes al mismo tiempo.

Esto significa que un sistema finito de axiomas es, para ciertas proposiciones incapaz de distinguir si es verdadera (indemostrable ) o si es falsa ( falsable).
Ello ocurre para todo sistema de axiomas consistentes que tenga la suficiente potencia como para describir la aritmética de los números naturales. Este es el famoso teorema de incompletitud de Gödel.


¿Significa ello que hay simplemente una limitación de las matemáticas para demostrar lo verdadero? o por el contrario...

¿Lo verdadero no existe de forma independiente y por tanto toda verdad es relativa?
Esto último es lo que podría decirse desde la visión filosófica del budismo.

Si la verdad matemática solo se refiere a aquello que pueda demostrarse matemáticamente,  ésta depende de la base axiomática elegida.

- Una misma proposición podrá entonces  ser cierta en un sistema de axiomas, falsa en otro e indemostrable en un tercero, y ser los tres sistemas axiomáticos perfectamente   auto-consistentes al mismo tiempo.

Sin embargo, no es lo que Gödel quería decir a través de su famoso teorema.

Pongamos un ejemplo:
En la artimética de los numeros naturales podemos definir los números primos.
Hay una proposición que no se sabe si es cierta o no:
- Existe una infinidad de parejas de numeros primos consecutivos que difieren entre sí en 2 unidades. Ej: (3,5), ... (91,93).

Esta proposición podría ser indemostrable a partir de los axiomas de la aritmética de los números naturales  (aritmética de Peano). ¡Pero ser perfectamente cierta!,  podría ser que el numero de pares de primos consecutivos sea infinito y nunca podamos saberlo. Podríamos definirlo como axioma y sería verdadero de manera relativa en el nuevo sistema de axiomas, pero no podremos estar seguros de su veracidad.
Podríamos definir como axioma su negación y sería falso de manera relativa en el nuevo sistema de axiomas, pero no podremos estar seguros de haber introducido un axioma falso aunque 'no falsable' a través de los otros restantes.

Así pues, los sistemas axiomáticos que usamos en matemática podrían contener como 'polizones', axiomas falsos y ser a pesar de todo perfectamente auto-consistentes. Nunca, podríamos detectarlos.

Si admitimos que la verdad existe por su propio lado, de manera  independiente, Gödel demostró que las matemáticas no pueden aprehenderla.


Si por el contrario, admitimos que 'toda verdad es relativa, porque todo es interdependiente', esa sería una perspectiva budista (Madhyamika).


En una historia imaginaria  Kurt Gödel le preguntaba a un lama si la relatividad de la verdad es una verdad absoluta
. Un lama que conocía su teorema le respondía.

- No, no es una verdad absoluta porque también es indemostrable, por tanto podría ser falsa en otros sistemas filosóficos que admitan verdades absolutas (*).  Como Ud. puede ver, el budismo es muy tolerante. 



 (*)  La filosofía Madhyamika-Prasanguika, una de las más importantes del budismo, admite lo 'verdadero absoluto'. Respecto de ello no cabría hacer ninguna aserción ni tampoco negación alguna. Esto solo es posible respecto de verdades relativas. El sistema filosófico Madhyamika es  por ello autoconsistente.

Aquello que no depende de causas y condiciones,
simplemente no existe. (Buddha Shakiamuni)





Kurt Gödel, célebre matemático austríaco  nacido en 1906.

'En todo sistema axiomático recursivo auto-consistente, lo bastante potente como para describir la aritmética de los números naturales, existen proposiciones verdaderas que no pueden ser demostrables a partir de dichos axiomas'.